Distance entre deux points

Propriété

Soit \((\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J})\) un repère orthonormé du plan.
On considère un point \(\text{A}\) de coordonnées \((x_\text{A} ; y_\text{A})\) et un point \(\text{B}\) de coordonnées \((x_\text{B} ; y_\text{B})\).

La distance entre les points \(\text{A}\) et \(\text{B}\) est donnée par \(\boxed{\text{AB}=\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}}\).

Démonstration

Considérons le cas où \(x_\text{A}<x_\text{B}\) et \(y_\text{A}<y_\text{B}\) (la démonstration est analogue dans les autres cas).
Traçons la parallèle à l'axe des abscisses passant par \(\text{B}\) (en bleu) et la parallèle à l'axe des ordonnées passant par \(\text{A}\) (en rouge). On note \(\text{C}\) le point d'intersection de ces deux droites.

Les axes du repère étant perpendiculaires, on en déduit que le triangle \(\text{ABC}\) est un triangle rectangle en \(\text{C}\).
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore. 
\(\text{AB}^2 =\text{AC}^2+\text{BC}^2\).
Mais \(x_\text{C}=x_\text{A}\) donc \(\text{BC}=x_\text{B}-x_\text{A}\) et de même \(y_\text{C}=y_\text{B}\) donc \(\text{AC}=y_\text{B}-y_\text{A}\).
En remplaçant dans l'égalité de Pythagore, on a donc \(\text{AB}^2 =(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2\).
Et \((x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2>0\) donc \(\text{AB}=\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}\).

Remarque

Une distance est un nombre positif !

Exemple

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Considérons les points \(\text{A}(-2~;5)\) et \(\text{B}(1~;-1)\).
La distance \(\text{AB}\) est : 
\(\begin{array}{l}\text{AB}\ =\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}\\\qquad =\sqrt{(1-(-2))^2+(-1-5)^2}\\\qquad =\sqrt{3^2+(-6)^2}\\\qquad =\sqrt{9+36}\\\qquad =\sqrt{45}\\\qquad =\sqrt{9\times 5}\\\qquad =3\sqrt{ 5}\\\end{array}\)
d'où \(\text{AB}=3\sqrt{ 5}\) .

Remarque

La distance entre les points \(\text{A}\) et \(\text{B}\) peu aussi s'écrire : \(\text{AB}=\sqrt{(x_\text{A}-x_\text{B})^2+(y_\text{A}-y_\text{B})^2}\).
En effet :
Un nombre réel \(x\) et son opposé \(-x\) ont le même carré, c'est-à-dire que l'on a \((-x)^2=x^2\).
Donc \((x_\text{B}-x_\text{A})^2 = \left(-(x_\text{B}-x_\text{A})\right)^2=(x_\text{A}-x_\text{B})^2\), 
de même \((y_\text{B}-y_\text{A})^2 =(y_\text{A}-y_\text{B})^2\).